本ページは、「江戸時代遠近法」内の”遠近法の計算”部分を独立させ、大幅に内容を追加したものです。
Innovative method for perspective drawing. Accurate, easy and space-saving way.
および
「エクセル」などの表計算ソフトを使うと、遠近法の寸法計算が、たやすくできます。
また、この計算値を使うと、シンプルで場所を取らい遠近法の作画が可能です。
ここで扱う計算は、手書きに向いていると思われる、線を扱います。３次元コンピュータ
グラフィックス(3DCG)などが扱う、点座標の計算とは違います。
遠近法は、遠くにあるものは小さく見えるというものですが、この縮小の仕方が対象物の
置かれている角度によって単純な比率で小さくなるとは言えない側面があります。
下の画像をご覧ください。
遠近法の特徴：
奥行成分は、遠くに行くにしたがい扁平になる。画像１。
使用グラフィック・ソフト：trueSpace 7.6(3DCG), CLIP STUDIO PAINT, Photoshop Elements。
|
上の画像の中でトルソの埋まっている面に注目して下さい。
遠近法の作図にあたっては、どちらか一方の計算値があれば作図可能です。
まず、エクセルで奥行寸法を計算してみた表と,この計算値をもとにした |
「エクセル」で遠近法の奥行寸法を計算した表。表１。
左から3列目の（）内の数値を手前から消失点までの距離として、この線に4列目(２ｍの距離)
から順次5列目、6列目・・と寸法を取ってゆくと、表下の条件での奥行長さの変化が描けます。
例えば、縮尺1.5/10であれば、150mmの線を引き、この線に50mm,25mm,15mm,10mm,7.1mm・・・
と寸法を取れば、正しい比率の分割線が描けることになります。上の表をもとに作図してみた
ものが下の絵です。
上の表をもとにした作図例。および、計算値をもとにしたさらに簡単な描き方の説明。図１。
実際の作図について： 右半分のみ書き、左半分は右半分を左右反転させ貼り付けてあります。
| より簡単な描き方： |
|
縮尺1.5/10を例に説明致します。
さらにラフな次のような作図方法も考えられます。図１Ｂ。
注）bの位置について：下の視野角とも関係してくるのですが 追加部分、終り。
上の表１では、d=2m、r=1mとしてあります。 ちなみに、人の視野限界は、下の図、青い線の内側程度になるそうです。
|
表１に掲載した図を立体化したもの。画像２。
表１で,"視点から対象列軸までの距離(r)"と分かりにくい表現をしていますが
上の画像にあるｒのことです。このｒは、消失点の距離とも関係しています。
ｗを画面に接した位置からスタートさせ、遠方へどんどん移動させると、写像は
ａからv.pへと、どんどん移って行き、限りなくv.pに近づいて行きます。aとv.p
の距離はr の距離と同じです。ｒは、画面に接する位置を始点とした場合の、消
失点までの長さと言えます。また、斜めの面を利用して計算することにより、地
面を基準にした座標を使ったのでは、複雑になってしまところを避けています。
画面に平行な線の計算について：
計算式は、y=wd÷x と、いたってシンプルです。
「エクセル」で画面に平行な線を計算した表。表２。
画面に平行な線の計算値を使った作図（１点透視）。図２。
消失点の決め方ですが、計算値が消失点に影響を与えることは
ありませんので、自由です。知っておくべきことは、消失点の
高さが視点の高さになることです。また、横の距離ですが、こ
れは対象物が真正面からどのくらいずれているかになります。
（条件：画面に平行な線群が、画面に垂直に置かれている場合）
表のxと書かれている軸が視点足元と同じ地面にあるものとす
ると、視点足元とx軸の距離をpcに設定します。画像２のrとし
て距離を設定する場合は、paの長さをその値とします。画面に
平行な線群が斜めに配置されている場合は、角度付の線の計算
内の「2点透視の消失点の位置・決め方」を参照して下さい。
2点透視中、2つある消失点内の1つを使う考えになります。
ただ、実際の作図に当たっては、上記「より簡単な描き方」を
使った方が、実用的だと思いまっす。12ｍの長さだけ取り、後
は図学的に処理する方法です。
上述のような画面に垂直か平行な平面・線で構成される場合に
は、必ず遠近法は1点透視になります。画面に垂直か平行でな
い平面＝傾きのある平面で構成される立体は、2点透視か3点透
視になります。
３種類の遠近法。１点透視、２点透視、３点透視。↓
1点透視になる画面と平面の状態。↓ 1点透視になる画面と立方体の状態。↓
1点透視には、a,cがそうであるようにように眼の中心点＝消失点となる場
合と、bがそうであるように眼の中心点≠消失点の2種類が考えられます。
私の考えですが、bのような斜め状態に関しては2点透視の特殊なタイプと
して扱った方が良いのではないかと思います。そもそも、平面＝厚さ0と言
うのは現実的ではなく、厚みが少しでもあれば、それは2点透視となるので
すから。
2点透視になる画面と立方体の状態。↓
3点透視になる画面と立方体の状態。↓
傾いた線の計算について：
上記二つの表は、対象物が画面に対して垂直か水平かですが、対象物が傾いた状態も
計算できます。上記の表中の図でwを傾けた場合の代数式は、私の計算では、下記です。
y=(wdxsinθ+wrdcosθ)/((wcosθ+x)*x)。この計算式で計算したものを表３に示します。
実際の作図に使用する場合は、詳しいことは省きますが、r=0, d=x とし、xを固定、wを可変
とした方が、作図に役立つように思います。この場合の式は、y=wxsinθ/(wcosθ+x)です。
こちらの計算値は、表４に示します。作図例を図２、図３に示します。r=0, d=xを4ｍ, θを45
度、正六面体一辺の長さを１ｍ、視点の高さ1.67ｍに想定いたしました。（上の式、一見複雑
そうに見えますが、数値を代入してしまえば案外と単純になり、y=4w÷(w+5.66)
です）
注:sinθ、cosθと言っても、2点透視ではθが30、45、60°程度しか扱いません。
この値をメモして置けば十分。 Windowsのアクセサリーにある関数電卓で
30と入力
してsinキーを押せばsin30°の答えが出ます。エクセルでも計算
してくれますが、
エクセルの計算はラジアンを基本としていて少々面倒です。
「エクセル」で角度付の線を計算した表。角度45度、視点距離２ｍ。表３。
「エクセル」で角度付の線を計算した表。角度45度、視点距離４ｍ。表４。
注：視点距離を４ｍとしたのは、２～３ｍですと写真で言うところの広角系となり、不自然な感じが強いためです。
計算値をもとにした2点透視の遠近法作図例、45度の角度付。図３。
計算値の寸法は、上側の水平な線に取って下さい。
一番手前の正六面体下角から水平な線まで
の距離が、視高にあたります。
上の図に着色・陰影を施したもの。図４。
計算値をもとにした作図と図学的作図の違い：
計算値による作図ですと、図３のような線だけで描けます。
描くスペースも、図３の範囲で済んでしまいます。これに
対して、計算値を使わずに、透視図法の図学的方法で描こう
とすると、下の図のようになります。計算値による作図の方
が透視図法による作図より、はるかにシンプルです。
透視図法による描き方。図５。
右下の小さな図が、全体図です。大きく描かれているのは
全体図下側の拡大図になります。全体図の上側、２点鎖線
の部分は、作図にあたって必ずしも必要のない部分です。
また、上の図法は一般的な透視図法ですが、透視図法の中
には、平面図(上から見た図)を使用しないで、測点・測線
と言うものを使って寸法取りをする、かなり省スペースな
作図方法もあります。測点法と言うこの作図法で上の図を
描いてみたのが下の図です。上下方向では場所を取らない
のですが、横は場所を取ってしまいます。A4の紙に作図し
たのですが、４ブロックしか描けませんでした。ただ、こ
の技法、数値と組み合わせると、かなり役立ちそうです。
測点法による２点透視の作図。図６。
注：この技法は、線RGおよび線LGに、元寸がどのように投影されるかを、割り出す目的の技法です。
2点透視における消失点の位置・決め方について：
消失点をどこに設定したらよいか？、透視図学を学んだ人でないと、意外と悩むのではないで
しょうか。消失点に関しては、案外単純な遠近法の理屈があります。下の図で説明いたします。
図７
|
視点がどこにあるかが決め手になります。
「視点を通る平行線が消失点を導く」理屈の説明： 下の図をもとに説明致します。
|
|
点Aから視点Pに青い線を引きました。
測定法の解説図。図９。
シンプルにした測定法の解説図(2)。図９Ｂ。
|
角度が３０度および６０度の場合の計算値・作図例は、下のようになります。
Θが３０度＝画面と対象物との角度６０度、視点距離４ｍの計算値。表５。
Θが６０度＝画面と対象物との角度３０度、視点距離４ｍの計算値。表６。
上記、角度30度・60度、２表の計算値を組み合わせた2点透視の作図例１。図１０。
30度・60度の計算値を組み合わせた2点透視の作図例２－１、ビルの寸法取り下書き。図１１Ａ。
描き順は、下のようになります。図１１Ｂ。
30度・60度の計算値を組み合わせた2点透視の作図例２－２、ビルの線書き完成品。図１１Ｃ。
2点透視の作図例２－３、フォト・レタッチ・ソフトでカラー化、ビルの完成品。図１１Ｄ。
注：「建築の新透視図法」長尾勝馬著、学芸出版社刊の
"ビルの45°消点利用介線透視法"を参照致しました。
表７・Θ＝60度の計算値を使用して３点透視の遠近法にもチャレンジしてみました。図１２。
数値的に正しいとは言えないように思います。
正確には、Θを54.5度にしなければならないの
ではないかと思います。ただし、上の図は、そ
れほど正しい値から外れてもいないようです。
かなり広角的な感じです。下の図は、手前左右
上下各２ブロックだけを取り出してみたものです。
これだと、かなり自然な印象を与えるように思い
ます。
図１３
その他：
計算値による作図＋図学的作図：
青い部分は計算値により作図、黄色い部分は図学的に作図。図１４。
青い部分は図１２と同じものです。この図に、作図に必要であった上左右の
消失点に加えて、中央の消失点も書いて見てみました。この時、気づきたこ
とですが、左右からの放射状の線と中央からの放射状の線を組み合わせて利
用すると、何もいらずにブロックを拡張できると言うことです。左右・中央
の線の交差点を利用することにより、ブロックを拡張作図できると言うこと
です。この理屈を使って描いたのが、黄色い部分です。この理屈で行くと極
端な例として1ブックのみ決めて、後は左右・中央の交差点を利用した作図が
可能だと言うことになります。実際に作図してみたものが、下の図１５です。
青い部分のみ初期設定、後は線の交差を利用し、他に何も使用しない”図学的増殖”の作図例。2点透視。図１５。
1ブロックのみ設定することにより拡張作図は可能ですが、精度のことを
考えると、数ブロックは計算値を利用した方がよさそうです。また、上の
作例は、奥の方へ増殖させていますが、手前側への拡大増殖も可能です。
一般に、対角線を上手に利用すると"増殖"および反対の"分割"も図学的
に簡単に行うことが出来ますね！
図１４のようなキューブの方眼・グリッドを作り、作図してみたものが下の絵です。図１６。
θ＝54.5°の計算値を使用した3点透視、高層ビル群のイメージ。
注：A4のコピー用紙に三つの消失点を含め作図したっため、細かい表現ができませんでした。
フォト・レタッチ・ソフトで反転処理を中心に加工を施しています。また、作図に用いた
考え方は、左右および垂直方向の消失点が、基点より等距離あるものとしてあります。透
視図法では、正位三消点透視図法などと呼ぶようです。基点より各消失点に向かう直線の
画面となす角度が、35.5°(θ=54.5°,90―54.5＝35.5)となるものと考えました。
奥行寸法別表：
表１は、対象物の長さを１ｍとし、距離を可変としましたが
下の表８は、対象物の長さを変化させています。この数値を
使った方が、寸法取りに誤差が生じにくく、正確な作図がで
きるように思います。注意してほしいのは、表１の距離(x)
２ｍは、この表の距離(w)の１ｍに相当します。「より簡単な
描き方」で使う場合は、11ｍの値を使って下さい。
画面に垂直な線＝奥行寸法計算、別表。表７。
2点透視 角度45度 方眼：
幅700ピクセルで表示していますが、現寸は2048ピクセルあります。形式はPNG、背景は透明にしてあります。図１７。
使い道があるようでしたら、ダウンロードしてお使い下さい。表４の数値をもとに作図してあります。
注：右6ブロック目が少し短くなっているなど、不正確なところがあります。
上の方眼・グリッドを下敷きにして描いてみたのが下の絵です。図１８。
注：図案は、「建築の新透視図法」長尾勝馬著、学芸出版社刊に載っていたものをアレンジ。
1点透視の遠近法作画例、古めかしい鉄道のイメージ画。図１９。
これも、1点透視用の方眼を作り、下敷きとして使用しました。
鉛筆で薄い和紙にラフ書き。レタッチ・ソフトで薄く着色。
遠近法の寸法をエクセルに計算させる方法：
下の表は、エクセルのキャプチャー画面に注釈を加えたものです。
表示されている数値は、図１６に用いたθ=54.5°、d=x=4mのもの
ですが、式は、
汎用になっています。θ、d=xともに変えられます。
表８
注：奥行方向の線および平行な線の計算式は、辻茂著「遠近法の発見」現代企画室発行を、参考に致しました。
ただ、平行な線の計算式は、3DCGにおいて点座標の投影位置を決める為に使用する汎用な式でもあります。
キャラクターは、セルシス(CELSYS)の「お下げ」と言うキャラクターに、ポーズをつけて使用致しました。
